13. АН. Уайтхед: Истоки современной науки; математика как элемент интеллектуальной истории

А. Уайтхед: Основные этапы в истории европейской математики. Роль абстрактного мышления в развитии математики и специфика математической абстракции. Взаимосвязь математики и философии. Прикладное значение математики и проблемы, связанные с применением математики к реальному миру.

Какие характерные особенности математики выделяет автор, в чем он видит ее смысл?

Наука чистой математики представляет собой оригинальный продукт человеческого духа. Смысл математики в установлении таких отношений между предметами, которые являются неочевидными. Математические представления оторваны от понятий, выводимых с помощью органов чувств. Само восприятие испытывает стимулирующее воздействие математики.

Какова роль абстрактного мышления в развитии математики и в чем специфика математической абстракции?

Искусство абстракции заключается в видении отношений между предметами или группами предметов, отвлекаясь от их специфики. Специфика математической абстракции в том, что она освобождает нас от обращения к отдельному наглядному примеру или даже к формам качественного своеобразия. Математика есть мышление, двигающееся в сфере полной отвлеченности от всяких частных условий, в которых существует мыслимый предмет.

Какие проблемы выделяет автор в применении математики к реальному миру вещей?

При применении математики к реальному миру мы должны понимать четкое различие между тремя процедурами:

1. Математическая часть рассуждения может иметь элементарные ошибки, например, нарушение логики причинно-следственной связи
2. Прояснение всех абстрактных посылок, из которых состоит математическое рассуждение
3. Проверка насколько абстрактные постулаты применимы в конкретных случаях, то есть в практическом применении

Какова роль Пифагора и его учения в истории науки?

Пифагор настаивал на важности высшей общности в математике и важности числа как средства конструирования всякого представления условий, включенных в природный порядок. Мир идей Платона представляет собой очищенную и преобразованную форму пифагорейской доктрины, в которой число лежит в основании реального мира. Благодаря греческому способу представления чисел структурой точек понятия числа и геометрической конфигурации оказались менее оторванными друг от друга, чем в современном понимании. Пифагору мы обязаны введением идеи формообразности геометрических фигур, которая не является чисто математической сущностью. Практический урок из обращения к Пифагору состоит в том, чтобы измерять и тем самым выражать качество в терминах заданного числом количества.

Раскройте основные этапы в истории европейской математики

Имели место две великие эпохи прямого воздействия математики на главные тенденции мышления, и каждая из них длилась около 200 лет. Первая эпоха длилась со времен Пифагора до Платона, когда греческие мыслители заложили основы самой возможности науки и ее специфического общего характера.

Вторая эпоха

Вторая эпоха объемлет собой Новое время - XVII и XVIII вв. Рождение современной физики было обусловлено применением абстрактной идеи периодичности к многообразию конкретных примеров. Но это было бы невозможно, если бы математики уже не разработали в абстрактной форме различные идеи, группирующиеся вокруг понятия периодичности.

Третья эпоха

Третья эпоха, современная эпоха - создание квантовой механики и идея дуализма, где частица может быть охарактеризована как волновым процессом так и корпускулой.

Какова логика становления и развития областей математического знания (арифметика, геометрия, алгебра и т. д.)?

Логика становления развития областей математического знания заключается в переходе понятия числа от абстракций относительно всякой совокупности предметов к общей науке анализа, которая рассматривает свойства различных функций с неопределенными аргументами. И наконец, частные функции, такие, как тригонометрические, логарифмические и алгебраические, обобщаются до представления о “всякой функции”.

В чем отличие абстракций при классификации от математических абстракций?

Классификация лежит между непосредственной конкретностью отдельной вещи и полной абстрактностью математических понятий. Виды выделяются спецификой отличий друг от друга, роды - родовой сущностью. В процессе отнесения математических понятий к природным фактам при помощи счета, измерения, геометрических средств, типов упорядоченности рациональное мышление поднимается от неполных абстракций, (с. 86) содержащихся в определенных понятиях вида или рода, к полным абстракциям математики.

Приведите примеры влияния абстрактного мышления на развитие научного знания?

В качестве примера можно привести теорию периодичности, которая нашла отражение в понимании физических явлений: Галилей наблюдал периодические колебания маятников; Ньютон давал объяснение звука как феномена, обязанного колебаниям воздуха, образуемым прохождением через него периодических волн конденсации и разрежения; Гюйгенс объяснял природу света из пересечения волн вибрирующего тонкого эфира;

В чем заключается взаимосвязь математики и философии?

Природа написана на языке математики, а цель естествознания - это понимание мира. По сути дела естествознание становиться наукой в той степени в которой она может использовать математику.

Раскройте прикладное значение математики

В математических формулах мы можем выразить все физические явления мира. Люди посредством математики должны найти механизм описания мира как модели организма.